一般表达式：

展开后：

仿射变换包括了以下变换及其组合：

  • 平移
  • 旋转
  • 反射
  • 缩放
  • 错切

1 平移变换

每个坐标都平移一定距离

所以

2 旋转变换

每个坐标绕着旋转中心旋转一定角度

image-20250211190107977

原点位于左下角，p 顺时针旋转 $\theta$ 到了 p’

由图容易列出这五个方程：

求解得到：

所以变换矩阵应该为：

下列 matlab 代码展示了向量 (0, 1) 顺时针旋转 45°（蓝色->红色） 的过程：

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x = zeros(1, 100);
y = 0: 0.01: (100-1)*0.01;

figure
plot(x, y)  
grid on
hold on

theta = pi / 4;
A = [cos(theta)  sin(theta)     0;
   -sin(theta)   cos(theta)     0;
       0            0           1];
p = [x;  
	y; 
	ones(1, 100)];

p_ = A * p;
plot(p_(1, :), p_(2, :));
hold off

image-20250211190203590

这只是原点位于左下角，顺时针旋转的情况，而原点位于左上角、逆时针旋转等情况又有所不同，总结如下表

原点位置 旋转方向 旋转矩阵形式
左上角 顺时针 $\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$
左上角 逆时针 $\begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$
左下角 顺时针 $\begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$
左下角 逆时针 $\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$

可以看到，以左上角+顺时针旋转的情况为基准，原点位置和旋转方向改变时都要同时改变矩阵中所有 sin 的符号

3 反射变换

可以理解为分别关于x轴、y轴、原点对称

我们知道乘以一个单位阵不改变原向量

如果关于 x 轴对称，则对 y 取反：

同理，关于 y 轴对称，则对 x 取反：

关于原点对称，则对 x, y 都取反：

4 缩放变换

缩放就是给坐标乘个系数

所以：

5 错切变换

错切是沿着某个轴进行缩放

还是从单位阵出发进行改造：

水平错切是沿着 x 方向缩放，保持 y 坐标不变。因此 A 的第二行不用动，第一行需要加入个缩放因子 a：

垂直错切则是改变第二行：

6 总结

下面借一张 https://blog.csdn.net/u011681952/article/details/98942207 中的图总结一下仿射变换

image-20250211190424457

但实际用的时候一般保留体现仿射变换性质的上面 2x3 部分作为仿射矩阵：