本篇文章将从用矩阵抽象线性方程组出发，逐步将矩阵与线性方程组中的操作对应，并探讨矩阵求解线性方程组的逻辑，其中有同济线代教材、MIT 线性代数课程的看法，还有不少是个人的理解，希望对各位有帮助，同时也希望各位看到有不对的地方能够多多指教。

假如有一个方程组：

$\begin{cases}3x_{1}+4x_{2}=y_{1}\\4x_1+3x_{2}=y_{2}\end{cases}$

想让它简洁一些，写的像表格一样，就有了矩阵形式的表达：

$\begin{bmatrix}3&4\\4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}$

这种形式一般被记作： AX=Y

在抽象成矩阵进行简介表达后，想让这种形式能够进行一些线性方程组中常用的操作，比如说方程组间的加法、对方程组进行数乘运算、对方程组进行变量替换，这些操作分别对应矩阵加法，矩阵数乘，矩阵乘法

1 矩阵加法

矩阵加法运算与方程组的加法运算相对应。以下面两个方程组为例：

$\begin{cases}3x_{1}+4x_{2}=y_{1}\\4x_1+3x_{2}=y_{2}\end{cases}$ $\begin{cases}x_{1}+3x_{2}=z_{1}\\2x_{1}+5x_{2}=z_{2}\end{cases}$

将这两个方程组写成矩阵：

$\begin{bmatrix}3&4\\4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}$ $\left[\begin{matrix}1&3\\2&5\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}z_{1}\\z_{2}\end{matrix}\right]$

两个方程组相加后得到：

$\begin{cases}4x_{1}+7x_{2}=y_{1}+z_{1}\\6x_{1}+8x_{2}=y_{2}+z_{2}\end{cases}$

相加后的方程组写成矩阵：

$\left[\begin{matrix}4&7\\6&8\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}y_{1}+z_{1}\\y_{2}+z_{2}\end{matrix}\right]$

由此得到矩阵加法的规律：只有同形矩阵才能进行加法，矩阵加法是对应位置元素相加。

2 矩阵数乘

矩阵数乘与方程组数乘相对应。以这个方程组为例：

$\begin{cases}3x_{1}+4x_{2}=y_{1}\\4x_1+3x_{2}=y_{2}\end{cases}$

矩阵形式：

$\begin{bmatrix}3&4\\4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}$

方程组每一项乘以个常数：

$\begin{cases}3kx_{1}+4kx_{2}=ky_{1}\\4kx_1+3kx_{2}=ky_{2}\end{cases}$

对应矩阵：

$\begin{bmatrix}3k&4k\\4k&3k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ky_{1}\\ky_{2}\end{bmatrix}$

由此得到矩阵数乘的规律：矩阵数乘时矩阵的每个元素都要乘以该常数。

3 矩阵乘法

矩阵乘法对应方程组的变量替换

假如有如下两个方程组：

$\begin{cases}y_{1}=a_{11}x_{1}+\cdots+a_{1n}x_{n}\\...\\y_{m}=a_{m1}x_{1}+\cdots+a_{mn}x_{n}\end{cases}\rightarrow Y=AX,A=\begin{bmatrix}a_{11}\cdots a_{1n}\\\cdots\\a_{m1}\cdots a_{mn}\end{bmatrix}(1)$ $\begin{cases}w_{1}=d_{11}y_{1}+\cdots+d_{1m}y_{m}\\...\\w_{k}=d_{k1}y_{1}+\cdots+d_{km}y_{m}\end{cases}\rightarrow W=DY,D=\begin{bmatrix}d_{11}\cdots&d_{1m}\\\vdots\\d_{k1}\cdots&d_{km}\end{bmatrix}(2)$

将方程组 (2)中的 y 全部替换为 (1) 中表达式：

$\begin{aligned}w_1&=d_{11}\left(a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n\right)+\cdots+d_{1m}\left(a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n\right)\\\dots \\w_k&=d_{k1}\left(a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n\right)+\cdots+d_{km}\left(a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n\right)\end{aligned}$

$\begin{aligned}w_{1}=(d_{11}a_{11}+\cdots+d_{1m}a_{m1})x_{1}+\cdots+\left(d_{11}a_{1n}+\cdots+d_{1m}a_{mn}\right)x_{n}\\\dots\\w_{k}=(d_{k1}a_{11}+\cdots+d_{km}a_{m1})x_{1}+\cdots+(d_{k1}a_{1n}+\cdots+d_{km}a_{mn})x_{n}\end{aligned}$

如果矩阵上也直接这样替换，可以得到：$W=DY=DAX$

$W=CX,\left.C=\left[\begin{matrix}d_{11}a_{11}+\cdots+d_{1m}a_{m1}\cdots d_{11}a_{1n}+\cdots+d_{1m}a_{mn}\\\vdots\\d_{k1}a_{11}+\cdots+d_{km}a_{m1}\cdots d_{k1}a_{1n}+\cdots+d_{km}a_{mn}\end{matrix}\right.\right]$

矩阵 C 正好是替换后的方程组的系数