线性代数

基可以线性表示一个空间内的所有向量，可以体现空间的维度 基必须是线性无关的 什么是线性无关？为什么要线性无关？ 假如二维空间有这样一组向量： 那么显然，这两组向量并不能表示二维空间的所有向量，它只能表示一维空间 同理，如果三维空间要能够表示三维内的所有向量，第三个向量就不能在前两个向量构成的平面内，否则也会丢失一个维度 二维空间内两向量共线可以表示为：$a_1=\lambda a_2$ 三维空间第三个向量在前两个向量的平面内可以表示为：$a_3=\lambda_1 a_1+\lambda_2 a_2$ 向量组线性无关可以理解为任何一个向量都不能被其余向量线性表示，反之则为线性相关 向量的基可以表示一个空间的所有向量，体现空间维度，我们要讨论某个空间其实就是找出这个空间的基，由于基要求是线性无关的，所以先要讨论空间向量之间的线性相关性，如果有一个向量能够被其他向量表示，它就是多余的，不能作为基 列空间 (Column...

求出一个线性方程组的解是解决实际问题的关键，在用矩阵表示了线性方程组的一些操作后，希望矩阵能够用于求解线性方程组，而求解线性方程组的常用方法之一就是消元法，所以接下来探讨如何用矩阵表达线性方程组的消元过程 1 用矩阵表示线性方程组的消元法比如有这样一个方程组： \begin{cases}x+2y+z=2\\3x+8y+z=12\\0x+4y+z=2\end{cases}消元法本质消去的是系数，元消失了是因为系数为 0...

本篇文章将从用矩阵抽象线性方程组出发，逐步将矩阵与线性方程组中的操作对应，并探讨矩阵求解线性方程组的逻辑，其中有同济线代教材、MIT 线性代数课程的看法，还有不少是个人的理解，希望对各位有帮助，同时也希望各位看到有不对的地方能够多多指教。 假如有一个方程组： \begin{cases}3x_{1}+4x_{2}=y_{1}\\4x_1+3x_{2}=y_{2}\end{cases}想让它简洁一些，写的像表格一样，就有了矩阵形式的表达： \begin{bmatrix}3&4\\4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}这种形式一般被记作： AX=Y 在抽象成矩阵进行简介表达后，想让这种形式能够进行一些线性方程组中常用的操作，比如说方程组间的加法、对方程组进行数乘运算、对方程组进行变量替换，这些操作分别对应矩阵加法，矩阵数乘，矩阵乘法 1...